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Pure Maths(什麼是循環和?)

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我在數學高手特訓斑(遠流出版社)P.107 看到循環和這個term, 不知是什麼來的呢?簡森不等式rf(x)+sf(y)+tf(z)>=f(rx+sy+tz) (r+s+t=1)put f(x)=1/root x, x=a^2+8bc, y=b^2+8ac, z=c^2+8ab,會簡化成 a/(a^2+8bc)^1/2+ b/(b^2+8ac)^1/2+c/(c^2+8ab)^1/2>=(a+b+c)^3/2/{a^3+b^3+c^3+24abc}^1/2它說如用循環和來表示, 得出的式子會更精簡, 不過結果大体相同.到底什麼是循環和呢? 是否像有a,b,c,d... 顯示更多 我在數學高手特訓斑(遠流出版社)P.107 看到循環和這個term, 不知是什麼來的呢? 簡森不等式rf(x)+sf(y)+tf(z)>=f(rx+sy+tz) (r+s+t=1) put f(x)=1/root x, x=a^2+8bc, y=b^2+8ac, z=c^2+8ab, 會簡化成 a/(a^2+8bc)^1/2+ b/(b^2+8ac)^1/2+c/(c^2+8ab)^1/2>=(a+b+c)^3/2/{a^3+b^3+c^3+24abc}^1/2 它說如用循環和來表示, 得出的式子會更精簡, 不過結果大体相同. 到底什麼是循環和呢? 是否像有a,b,c,d 4個root,任抽三個, 卻不用全部combinations寫出來呢? 更新: Should be rf(x)+sf(y)+tf(z) not less than f(rx+sy+tz) (r+s+t=1)

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這應該不是pure maths 吧... 循環和 = cyclic sum 跟summation sign Σ一樣, 只是幫忙令上面的equation 寫得簡單少少吧. cyclic sum, 就是將你的 function 入面的 variable 循環代一次, 例如, 當有4個 variable a,b,c,d 時, 就順次序 substitute abcd -> bcda -> cdab -> dabc 於是, 例如 ab^2c^3/d 的循環就是 ab^2c^3/d, bc^2d^3/a, cd^2a^3/b, da^2b^3/c 了 循環和, 當然就是這些相加: ab^2c^3/d+ bc^2d^3/a+ cd^2a^3/b+ da^2b^3/c. 可以寫成 S(ab^2c^3/d). --------------- 你的問題, 就是 a, b, c 的循環 (abc -> bca -> cab), 個 function 當然是 a/(a^2+8bc)^1/2 於是, S(a/(a^2+8bc)^1/2) 就是你的 inequality 的 Left Hand Side 了. 2007-08-02 10:44:34 補充: 回豬犀:唔同. summation convention 是類似Matrix Multiplication的計算簡化式, 係根據個 index 來加, 其實只不過是在算式前補上 summation sign (i=1 to n) 罷了.cyclic sum 的加法卻運用了所有的variable 的循環變化, 加法跟summation convention 是不同的.

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