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標題:
Factorization (part II)
發問:
Factorize x^11 + x^7 - 1 (我知答案，我想要方法。Thanks) 更新: 我見有人用類似 complex number 嘅方法解，可以(可能)嗎？
最佳解答:
這類題可賞試加消次方等差項 , 這裡11 , 7 , 3 成等差 , 加消 x3 : x11 + x? - 1 = x11 + x? + x3 - (x3 + 1) = x3 (x? + x?+ 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x? + 2x?+ 1 - x?) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 ( (x?+ 1)2 - x?) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) (x?+ x2 + 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) (x?+ 2x2 + 1 - x2) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) ( (x2 + 1)2 - x2 ) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1) ( x3 (x?- x2 + 1) (x2 + x + 1) - (x + 1) ) = (x2 - x + 1) ( x3 (x? + x? + x?- x?- x3 - x2 + x2 + x + 1) - (x + 1) ) = (x2 - x + 1) ( x3 (x? + x? - x3 + x + 1) - (x + 1) ) = (x2 - x + 1) (x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1) 別解 : x11 + x? - 1 = (x11 - x1o + x?) + (x1o - x? + x?) - (x? - x? + x?) + (x? - x? + x?) + (x? - x?+ x3) - (x3 - x2 + x) - (x2 - x + 1) = x?(x2 - x + 1) + x?(x2 - x + 1) - x?(x2 - x + 1) + x?(x2 - x + 1) + x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - 1 (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1) (x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1) 2012-10-28 11:16:13 補充： 大於四次的方程沒有求根公式,很難判斷(x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1)能否分解 。或者可用待定系數法試試~ 2012-10-29 20:37:05 補充： 用complex number 可以啊~ 用WolframAlpha 找到了 x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1 = 0 的1個 real root = 0.924617 還有8個 complex roots : - 0.894 ± 0.33448i - 0.74554 ± 0.81006i -0.16717 ± 0.91644i 0.84441 ± 0.64463i 2012-10-29 20:37:15 補充： 如果 x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1 能分解,它的因子常數項是±1 , 找2次因子的話,只須試驗以上4組共軛complex roots 之積是否±1 , 結果都不是 , 所以無2次因子。 再試3次因子 , 把以上4組共軛complex roots 之積再乘 0.924617 , 結果都不是±1 , 所以無3次因子。 最後檢驗任何2組共軛complex roots之積的積 , 結果都不是±1 , 所以無4次因子。 於是知道 x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1 不能再分解了。 2012-10-30 19:50:27 補充： 啊~原來這才是complex number 嘅方法,夠精簡~ 2012-10-31 13:19:29 補充： 謝謝版大******
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Factorize x^11 + x^7 - 1 (我知答案，我想要方法。Thanks) 更新: 我見有人用類似 complex number 嘅方法解，可以(可能)嗎？
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這類題可賞試加消次方等差項 , 這裡11 , 7 , 3 成等差 , 加消 x3 : x11 + x? - 1 = x11 + x? + x3 - (x3 + 1) = x3 (x? + x?+ 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x? + 2x?+ 1 - x?) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 ( (x?+ 1)2 - x?) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) (x?+ x2 + 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) (x?+ 2x2 + 1 - x2) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) ( (x2 + 1)2 - x2 ) - (x + 1) (x2 - x + 1) = x3 (x?- x2 + 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1) ( x3 (x?- x2 + 1) (x2 + x + 1) - (x + 1) ) = (x2 - x + 1) ( x3 (x? + x? + x?- x?- x3 - x2 + x2 + x + 1) - (x + 1) ) = (x2 - x + 1) ( x3 (x? + x? - x3 + x + 1) - (x + 1) ) = (x2 - x + 1) (x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1) 別解 : x11 + x? - 1 = (x11 - x1o + x?) + (x1o - x? + x?) - (x? - x? + x?) + (x? - x? + x?) + (x? - x?+ x3) - (x3 - x2 + x) - (x2 - x + 1) = x?(x2 - x + 1) + x?(x2 - x + 1) - x?(x2 - x + 1) + x?(x2 - x + 1) + x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - 1 (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1) (x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1) 2012-10-28 11:16:13 補充： 大於四次的方程沒有求根公式,很難判斷(x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1)能否分解 。或者可用待定系數法試試~ 2012-10-29 20:37:05 補充： 用complex number 可以啊~ 用WolframAlpha 找到了 x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1 = 0 的1個 real root = 0.924617 還有8個 complex roots : - 0.894 ± 0.33448i - 0.74554 ± 0.81006i -0.16717 ± 0.91644i 0.84441 ± 0.64463i 2012-10-29 20:37:15 補充： 如果 x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1 能分解,它的因子常數項是±1 , 找2次因子的話,只須試驗以上4組共軛complex roots 之積是否±1 , 結果都不是 , 所以無2次因子。 再試3次因子 , 把以上4組共軛complex roots 之積再乘 0.924617 , 結果都不是±1 , 所以無3次因子。 最後檢驗任何2組共軛complex roots之積的積 , 結果都不是±1 , 所以無4次因子。 於是知道 x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1 不能再分解了。 2012-10-30 19:50:27 補充： 啊~原來這才是complex number 嘅方法,夠精簡~ 2012-10-31 13:19:29 補充： 謝謝版大******
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(x^4 + x^3 - 1)(x^5 - x + 1) is already a complete factorization over real number. 2012-11-01 20:19:05 補充： Factorization is very interesting. e.g. Factorize x? + 4.|||||多謝三位的見解, 令我獲益良多. 好彩 點瞧 ( 實習生 3 級 ) 沒有寫在 "回答" 裡, 否則我都不知選那個. ?雨後陽光? ( 知識長), 我是選定你的. (其實我是比較喜歡第二個, 夠精簡.) "亂槍打鳥" 這句我不大認同. 君不見個個亂槍打鳥都能打倒! 換句話說, 精簡的,有效的方法都是亂槍打鳥的. 人家的經驗不可能是亂槍打鳥得來的. 2012-10-31 19:16:20 補充： x^9 + x^8 - 2x^5 + x^3 + x - 1 = (x^4 + x^3 - 1)(x^5 - x + 1) 我只是 factorize 得那麼多。 2012-10-31 20:03:19 補充： 算了吧，我的能力就只得那麼多，這題是超出我的極限，我投降了。|||||果然是真正的知識長, 我有另一個想法 : 若 w^3 = -1, 則 (w + 1)(w^2 - w + 1) = 0 因這 equation 有三根, 若 w 不是 -1, 則 w^2 - w + 1 = 0 設 f(x) = x^11 + x^7 - 1, 則 f(w) = w^11 + w^7 - 1 = (-1)^3 * w^2 + (-1)^2 * w - 1 = -w^2 + w - 1 = 0 所以 f(x) 有因子 (x^2 - x + 1). 2012-10-30 11:27:33 補充： 至於 x^9 + x^8 - x^6 + x^4 + x^3 - x - 1 能否再分解, 我就沒有這的能力了. 不過我就同意 知識長 的見解.|||||容易證明(x2 - x + 1)在整數中無法再分解。 不知道有誰能夠說明(或證明): (x? + x? - x? + x?+ x3 - x - 1) 在整數中無法再分解 ? 2012-10-30 22:33:53 補充： 如果不考慮計算量，Kronecker's method是有效的辦法。 請參考:WIKI http://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials 之 Kronecker's method部分。 至於使用複數根的辦法: 點瞧 ( 實習生 3 級 )的作法，基本上是亂槍打鳥， 其試驗空間並非有限個數，故理論上，並不可行。 ?雨後陽光? ( 知識長)之作法，因受限於根是近似值， 無法作為整數之討論，故亦不可行。 2012-10-30 22:39:57 補充： 用Kronecker's method求 x^11 + x^7 - 1之二次因式，須測試8個二次多項式， 我有實際計算，在第二個情況，就剛好解出 x^2 - x + 1 這個因式。
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